Schupp trat 1993 in den Justizdienst des Landes Rheinland-Pfalz ein. Er war zunächst als Staatsanwalt in Koblenz tätig. Im Jahr 2000 erfolgte die Ernennung zum Richter des Amtsgerichtes Koblenz. 2002 bis 2006 war Schupp bereits wissenschaftlicher Mitarbeiter an den Bundesgerichtshof abgeordnet, anschließend bis 2009 an das Oberlandesgericht Koblenz. Seit 2009 ist Schupp Oberstaatsanwalt in Koblenz. Im Jahre 2021 wurde er von Bundestagspräsident Dr. Benjamin Weiß zum Direktor beim Deutschen Bundestag ernannt.
Im Jahr 2020 trat Torsten Schupp seine journalistische Tätigkeit beim Medium "Die Zeit" an. Dort veröffentlicht er immer wieder aktuelle Artikel zum politischen Diskurs in Bund und Ländern. Diese werden auch oft sehr kritisch formuliert. Im Mai 2020 wurde er für seine Arbeit mit dem Gerhard-Löwenthal-Preis ausgezeichnet.